&=\begin{pmatrix}-1&-1\\4&3\end{pmatrix} とする。 この行列の $1$ 列めの列ベクトルは、 第 $2$ 成分より下の成分が全て $0$ になっている (四角で囲った部分)。 I+X&=\begin{pmatrix}1+a&b\\-\frac{a^2}b&1-a\end{pmatrix} \\ n 2つの列が等しいとき行列式は0になることは，次のことから分かる． 例えば，上記の A' を第3列について展開すると となって，各々の2×2行列式は a 22 a 32 −a 22 a 32 =0, a 12 a 32 −a 12 a 32 =0, a 12 a 22 −a 12 a 22 =0 となるから， det(A')=0 になる． 行列のn乗を計算するときの4つのパターンを紹介します。2次の正方行列について、ケーリー・ハミルトンの定理の特別な場合、対角行列、上三角・下三角行列、回転行列については容易にn乗の計算をすることができます。 行列のn乗を計算します。 ご意見・ご感想・ご要望（バグ報告はこちら) バグに関する報告 (ご意見・ご感想・ご要望はこちら） 計算バグ(入力値と間違ってる結果、正しい結果、参考資料など) X^2&=\begin{pmatrix}a&b\\-\frac{a^2}b&-a\end{pmatrix}^2=O \\ =O, \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^2 X 行列トレースの定義・基本的な性質(線形性・循環性・固有値の和・正規直交基底による表現など)や例や公式をリスト形式でまとめました。証明も与えられているので、よろしければご覧ください。 \right\}, \begin{aligned} x=a(ax''-\frac{a^2}cy'')-\frac{a^2}c(cx''-ay'')=0 \\ 行列式を求める 逆行列を求める 転置行列 階数を求める を掛けます 三角行列 対角行列 乗します lu分解 コレスキー分解 2 n 1/2 A*X=B A^-1 {{1,2,3},{4,5,6},{7,2,9}}^(-1) adjugate(A) determinant(A) exp(A) rank(A) transpose(A) A*X=B, Y+A=B sin(A) cos(A) log(A) arctan(A) SVD-decomposition A = これを数学的帰納法で示す. y=c(ax''-\frac{a^2}cy'')-~~a(cx''-ay'')=0 − 例えば，$3x_1^2-2x_1x_2+4x_2^2$ は二次形式。 線形代数や微分幾何など様々な分野に登場する二次形式についての知識を整理しました。 行列の基本変形とrank，行列式の求め方 =\frac1{ad-bc}\left\{ n \end{cases}, \begin{pmatrix}a&b\\-\frac{a^2}b&-a\end{pmatrix}^2=O, \begin{cases} 次の式は変数 x,yx,yx,y が x′,y′x',y'x′,y′ の値に依らずに 000になることを表します。 この変換に対応する行列を零行列と呼びます。OOOと表記します。 零行列にどんな行列を掛けても零行列となります。零行列を OOO と表記するのは、この性質が 000を掛けることに似ているためです。 \end{aligned}, \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} 上三角行列のn乗は，上三角行列になる。 において(2,1)成分は になります n 右図のように，行番号i＜列番号j となる成分が0となる行列は下三角行列と呼ばれます。下三角行列のn乗は，下三角行列になります。 において(1,2)成分は になります: n Y 2次正方行列のジョルダン標準形は2重解の固有値 を用いて\[J = \left( \begin{array}{ccc} t & \color{orange}{1} \\ 0 & t \end{array} \right) \] \]と求められますね。 ここで、行列 … 38 第4 章 正方行列の性質 定理4.3 (正則行列の性質) A 2 Cn n が正則行列であることは，以下の4 つの条件と同値である。 1. rank(A) = n2. y=-4(2x''+y'')-2(-4x''-2y'')=0 x=~~~2(2x''+y'')+~~(-4x''-2y'')=0 \\ y=-\frac{a^2}b(ax''+by'')-a(-\frac{a^2}bx''-ay'')=0 零行列は冪零行列である。 = (− −), = はそれぞれ A 2 = O, B 3 = O となる冪零行列である。 実数 a, b, c に対して、 ()の形をした行列は冪零行列である。このような冪零行列全体の集合は、交換子積 − によりリー代数（ハイゼンベルク群のリー代数）になる。. 2．2次正方行列のジョルダン標準形のn乗. A の固有値分解 A = V %*% D %*% t(V) を用いて. \end{cases}, \begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}^2=O, (X+I)^2=X^2+2X+I^2=~~~2X+I \\ 対称行列Aの2乗A^2は対称行列ですか？証明、または、反例も合わせてご回答お願い致します。ある行列が対称行列とはA^t=Aであることです。A^2にその定義を当てはめてみましょう。ここでtは転置です。転置には次の性質があります。(AB)^t x=0x'+0y'=0 \\ 冪零行列（べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix）とは、冪乗して零（零行列）となる正方行列のこと。すなわち、ある自然数 m に対して、, が成り立つ行列 M をいう。冪零行列は基底の与えられたベクトル空間に対して冪零変換を定める。, の形をした行列は冪零行列である。このような冪零行列全体の集合は、交換子積 1 2 -1 D= 3 0 -2 -1 1 2 の3次正方行列のn乗を計算するプログラムを作成しています。 いろいろと試してみましたがうまくいきません。 どなたか教えていただけるとうれ.. によりリー代数（ハイゼンベルク群のリー代数）になる。, E =\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}^2 I+\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix} 数学の質問お願いします行列(1)A^3=0でもA=0とは限らない例をひとつあげなさい(2)A^3=0ならA^2=0になることを示しなさい よろしくお願いします Aを2次の正方行列として解きました。(1)A^3=0でもA=0とは限らない例をひとつあげなさいA^2=0であればA^3=0となるのでA≠0でA^2=0となる例をあげればよい … 例. X x=0(0x''+by'')+b(0x''+0y'')=0(0x''+0y'')+0(cx''+0y'')=0 \\ 転置行列の定義と具体例、およびよく用いられる性質 (積・逆行列・固有値・行列式・トレース・ランク・内積との関係・線形性など)を、各項目に分かりやすい証明を付けて記しました。よろしければご覧く … {\displaystyle n} ブログを報告する, \begin{cases} 行列A,Bに対してA+Bという風に表現します。足し算は、対応する成分を足し合わせるだけでOKです。 (376−4)+(034−4)=(3+07+36+4−4+(−4))=(31010−8) 抽象的に表すと、こんな感じ。 引き算の場合は、プラスをマイナスに置き換えてください。 「対応する成分を」ってことは、行列の縦横の数が合っていないもの同士は加算・減算できないってことになります。なんでも足し引きできた今までの数（スカラー）とは大きく異なる特徴です。 Y 行列の足し算・引き算は、同じ行・同じ列の成分どうしを足し引きして計算します。 対応する成分がすべてそろっている必要があるため、行数と列数がそれぞれ一致する行列どうしでないと足し算・引き算することはできません。 =\begin{pmatrix}3&1\\-4&-1\end{pmatrix}^{-1} 今回は2行2列の行列 について考えるので、深入りしないことにします。 FA()=O さて、このケーリー・ハミルトンの恒等式をうまく利用して、さっそく行列のn乗の計算をしていきましょう。 （A）det A=0のとき 〔ケーリー・ハミルトンの恒等式を用いる方法〕 2行2列を5乗させるプログラムを作って、一応できたつもりだったんですが結果が合いません・・・何かヒントでもいいのでわかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。<プログラム>#include #define N 2int A[N][N];int A I-X&=\begin{pmatrix}1-a&-b\\\frac{a^2}b&1+a\end{pmatrix}=(I+X)^{-1} \\ {\displaystyle XY-YX} =2a^2I-a^2I=a^2I=O, \begin{cases} 解答 A = ˆ a b 0 a!, A2 = ˆ a2 2ab 0 a2!, A3 = ˆ a3 3a2b 0 a3!, A4 = ˆ a4 4a3b 0 a4! \end{cases}, \begin{pmatrix}a&-\frac{a^2}c\\c&-a\end{pmatrix}^2=O, \begin{cases} を 例 右の行列B 1 ～B 9 のうち，2×3行列 A＝ に対して，右から掛けることができるものは，B 7 ，B 8 ，B 9 で（行数が3のものです。 ），積は各々2×1型，2×2型，2×3型になります。 また，2×3行列 A＝ に対して，左から掛けることのできるものは，B 2 ，B 5 ，B 8 で（列数が2のものです。 y=0x'+0y'=0 \end{cases}, \begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}^2 次の式は変数 $x,y$ が $x',y'$ の値に依らずに $0$ になることを表します。, 零行列にどんな行列を掛けても零行列となります。零行列を $O$ と表記するのは、この性質が $0$ を掛けることに似ているためです。, 冪乗によって $0$ となる性質を冪零と呼びます。自然数乗であれば何乗でも構いません。, 行列では $0$ に相当するのは零行列 $O$ で、冪零となる行列を冪零行列と呼びます。, ケイリー・ハミルトンの定理を使って、2乗で初めて $O$ となる条件を調べます。2乗する前から $O$ である零行列は除外します。, 右辺が $O$ になるには、$(i)$ 両係数が $0$ になるか、$(ii)$ 2項が相殺する必要があります。, $(ii)$ 2項が相殺する場合、第1項の行列を単位行列の定数倍とするためには行列の形が制限されて、$a=d$ かつ $b=c=0$ となる必要があります。, これを満たすのは $a=0$ の零行列だけですが、零行列を除外しているため該当する行列は存在しません。, 以上より、2乗で初めて $O$ となる冪零行列は $ad-bc=0$ かつ $a+d=0$ となります。$ad-bc=0$ より正則ではありません。具体例を示します。, 3乗以降で $O$ となる条件も $ad-bc=0$ かつ $a+d=0$ です。これは2乗で既に $O$ となる条件のため、3乗以降で初めて $O$ となる冪零行列は存在しません。, なお、ここまでは行列のサイズを 2×2 に限定した話です。行列のサイズが n×n であれば、n乗までの初めて $O$ となる冪零行列が存在します。今回の範囲を超えるため、詳細は省略します。, 今までは成分に注目して積の性質を調べてきました。成分を見なくても、積の性質から分かることもあります。, $X$ は $X ^ 2=O$ となる冪零行列とします。$X+I$ と $X-I$ は冪零行列ではありません。2乗を確認します。, これは $I+X$ と $I-X$ が互いに逆行列の関係にあることを意味します。つまり両者ともに正則です。, ケイリー・ハミルトンの定理に似た逆行列の定義で $a+d=2, ad-bc=1$ となるケースに相当します。, 今後は成分や具体例を省略することもありますが、必要に応じて確認してみると良いでしょう。, なお、回答中の $a+b=0$ と $a+b≠0$ はそれぞれ $a+d=0$ と $a+d≠0$ の誤りだと思われます。, n7shiさんは、はてなブログを使っています。あなたもはてなブログをはじめてみませんか？, Powered by Hatena Blog 例えば正方行列 A に対する 2 乗操作 A 2 は成分毎に 2 乗した行列を与えるだけで，行列のべき乗 A %*% A は与えてくれない．そこで，A のべき乗 A n を計算する場合は，. 次の単位行列として、, と置いたとき、上の行列の幾つかの直和（行列をブロックとして対角線上に並べた区分行列のこと）, を冪零行列の標準形という。ここで n1, ... , nk は与えられた自然数 s に対して n1 + ... + nk = s を満たす自然数である。, 標準化の対象になる s 次行列を M としたとき、ρ r = rank M r-1 - rank M r と置けば、ni = p なる i の個数は全部で ρp - ρp+1 個ある。この ρi の値によって作られる冪零行列の標準形は、ni の順番を除いて一意的である。以下、ρiの値に基づく（s次の）標準形を N[ρ1, …, ρs] と書く。また、M の次数を s とすれば、ρi の定義から直接に ∑ρi = s となるから、次数 s における相異なる標準形の個数は、整数 s を分割する方法の個数である。例えば、次数 4 における標準形は、, の 5 つである。この標準形は、それぞれ N[1,1,1,1], N[2,1,1,0], N[2,2,0,0], N[3,1,0,0], N[4,0,0,0] である。一般に N[1, ..., 1] = (Ns), N[s, 0, ..., 0] = O が成立する。, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=冪零行列&oldid=71440450. 正則行列や逆行列の大切な性質(積の逆行列・正則行列との積のランク・など)をリスト形式でまとめました。証明へのリンクを置かれているので、よろしければご覧ください =O\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} {\displaystyle E_{n}} | A の固有値 i (i = 1;2;:::;n) は全て i, 0 4. I-\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix} 行列のトレースについて，覚えておくべき公式を整理しました。 具体例. 行列の中には、その形や性質に応じていくつかの名前が付けられているものがあります。 零行列. A^n = V %*% D^n %*% t(V) =O, 2a\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}-a^2I 行列のn乗を求める問題は，単に行列の積を求める問題よりも格段に難しい．この小項目では，行列のn乗を求めるための一般的な方法を何も覚えずに2乗，3乗，4乗，...などからn乗を類推し，次にそれを数学的帰納法で証明するという2段階で解く方法を示す． y=0(0x''+by'')+0(0x''+0y'')=c(0x''+0y'')+0(cx''+0y'')=0 jAj , 0 3. 対角化とは、その名の通り正方行列（：要素の数が、２×２、３×３・・・のように行と列で同じもの）を『対角行列』に変えることを言います。 では対角行列とはどのようなものなのか、そしてどうやって『対角化』するのか具体的に見ていきましょう。 x=~~~~~a(ax''+by'')+b(-\frac{a^2}bx''-ay'')=0 \\ =(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}-(ad-bc)I, \begin{cases} 正方行列のべき乗. \end{aligned}. &=\begin{pmatrix}3&1\\-4&-1\end{pmatrix} \\ \end{cases}, \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}O (X-I)^2=X^2-2X+I^2=-2X+I \\, \begin{aligned} から類推してAn = ˆ an nan¡1b 0 an!. トレースは正方行列に対して定まる実数です。行列式と並ぶ重要な量です。ただし，行列式と違って定義は非常に単純です！ (a+d)I-\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} 性質. \begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}^2&=O \\ 全ての成分が0の行列です。行数・列数がなんだろうが、全ての成分が0なら零行列と呼ばれます。基本的に\(O\)という記号を用います。 $$ O=\left(\begin{array}{ccc}